ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA DESARROLLAR LA HABILIDAD PARA RESOLVER PROBLEMAS

INTRODUCCIÓN

Antes de abordar la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos es necesario delimitar qué es lo que entendemos por problema.

Un problema es una cuestión a la que no es posible contestar por aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad, sino que para resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos, matemáticos o no, y buscar relaciones nuevas entre ellos.

En los problemas no es evidente el camino a seguir; incluso puede haber varios; y desde luego no está codificado y enseñado previamente. Hay que apelar a conocimientos dispersos, y hay que poner a punto relaciones nuevas.

Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida, que suelen ser las que aplican (generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente indicados para abordar los problemas. El conocimiento y la práctica de los mismos es justamente el objeto de la resolución de problemas, y hace que sea una facultad entrenable, un apartado en el que se puede mejorar con la práctica.

PAUTAS METODOLÓGICAS

De la afirmación anterior se derivan una serie de principios o pautas metodológicas que pueden orientar las estrategias didácticas para desarrollar la habilidad de resolver problemas.

a) Plantear al alumno situaciones problemáticas surgidas de contextos reales y que exijan planificar la acción, controlar y supervisar lo que hace y piensa, así como evaluar lo que ha obtenido.
b) Evitar el planteamiento de problemas matemáticos simples que conserven un mismo tipo de estructura y que demanden de manera reiterada y única un determinado tipo de respuesta
c) Plantear las situaciones problemáticas que el alumno ha de resolver en contextos y situaciones reales de acuerdo con su entorno, edad y experiencias previas de aprendizaje.
d) Crear un clima en el aula en el que se tolere la reflexión, la duda, la exploración y la discusión sobre las distintas maneras como puede aprenderse y pensarse sobre un tema

ALGUNAS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

a) Enseñar a resolver problemas tipo

Esta estrategia consiste en plantear a los alumnos algún problema que combina cierta información, de manera que su solución demanda el uso de algún procedimiento determinado o de una combinación de ellos.

Una vez que el problema se ha resuelto, preferiblemente en un trabajo conjunto entre el profesor y los alumnos y no como mera ejemplificación del profesor, se propone una serie de nuevos problemas que conservan la misma estructura que el problema inicial, de tal manera que sólo varían los datos y el contexto.
Con esta estrategia didáctica se contribuye al aprendizaje de modos de relación de información y de procedimientos, que pueden ser transferibles a nuevas situaciones.
Sin embargo, cuando se prioriza o se usa de manera exclusiva esta estrategia, cuando la ejercitación en los problemas tipo ocurre sin introducir prácticamente ninguna variación, el problema deja de ser tal, en tanto que deja de cumplirse la condición de que no sea posible contestar por aplicación directa de ningún resultado conocido con anterioridad.

b) Inducir la reformulación verbal del problema

Consiste en propiciar que los alumnos (con la asistencia del profesor en la medida que resulte estrictamente necesario) reelaboren el enunciado del problema, utilizando para ello las palabras de uso familiar que les permitan precisar con mayor claridad cuál es la situación planteada en el problema, sin modificar su estructura original.

El uso de esta estrategia didáctica se apoya en el supuesto de que la comprensión de la situación planteada en el problema es fundamental para proceder a cualquier intento de solución y de que sólo se puede verbalizar de manera adecuada aquello que se ha comprendido satisfactoriamente.
Esta estrategia propicia un primer nivel de análisis que facilita la comprensión del problema en cuestión; lo que posibilita salvar la dificultad para interpretar los términos que aparecen en el enunciado de un problema; permite descartar, en su caso, si una solución incorrecta tiene que ver con una inadecuada interpretación del lenguaje en el que está expresado el problema, o con otro tipo de razones y, en la medida en que los alumnos puedan realizar dicha reformulación sin ayuda del maestro, permitirá que el alumno desarrolle una estrategia de aprendizaje sumamente valiosa para emprender la resolución de problemas matemáticos.
Sin embargo, sin un seguimiento cuidadoso, la reelaboración del enunciado puede alterar la estructura original del problema y, por consiguiente, llevar a una solución errónea del mismo. Por otra parte, si la reelaboración trae consigo una constante eliminación del lenguaje técnico o de palabras que obligarían al estudiante a ampliar no sólo su vocabulario, sino también la construcción de significados, esta estrategia puede resultar limitante para el logro de otro tipo de objetivos de aprendizaje que también se propician a través de la resolución de problemas.

c) Facilitar por medio de preguntas el análisis del enunciado del problema

En esta estrategia didáctica, el docente asume el papel de constructor de preguntas que faciliten a los alumnos identificar la información contenida de manera explícita o implícita en el enunciado del problema, descartar la que no sea relevante, descubrir si está presente toda la información necesaria para resolverlo y percibir las relaciones que pueden establecerse a partir de la información detectada, todo esto antes de idear un plan de resolución del problema.

Las preguntas pueden incluso generar que se recuperen de la memoria algunos conceptos y conocimientos declarativos, involucrados en el planteamiento del problema, aumentando con ello la probabilidad de que el estudiante elija atinadamente aquellos procedimientos que resulten pertinentes para alcanzar la solución del problema.
Esta estrategia puede ser útil para apoyar a los alumnos en el descubrimiento de qué tipo de elementos conviene analizar antes de elegir los procedimientos para la resolución de problemas y para impedir que de manera inmediata, después de una lectura superficial del problema, se lancen a la decisión de cuál o cuáles procedimientos de solución utilizar.
Como contrapartida, hay que hacer notar el riesgo de que origine en ellos cierta dependencia intelectual que finalmente les genere resistencia a un trabajo individual si no cuentan con la asistencia del docente cuando se les proponga resolver problemas matemáticos.
d) Facilitar la explicitación de los razonamientos presentes durante el proceso de solución del problema

Esta estrategia didáctica consiste en propiciar una especie de pensamiento en voz alta, ya sea durante la acción o después de ésta, que contribuya a que el alumno sea plenamente consciente de las razones por las que va tomando ciertas decisiones y concretándolas en la realización de algún procedimiento con la intención de resolver el problema.

La explicitación de los razonamientos presentes durante el proceso de solución del problema, se facilita mediante preguntas del tipo ¿cómo se te ocurrió esta forma de solución?, ¿qué pensaste cuando decidiste realizar tal operación?, ¿por qué decidiste este procedimiento y no otro?, ¿qué te ayudó a pensar de esa manera?, ¿qué pasaría si usaras tal procedimiento en lugar del que utilizaste?; o bien mediante solicitudes expresas como: explica a tus compañeros qué fuiste pensando mientras resolvías el problema o, si tú fueras el maestro ¿cómo le explicarías a tu grupo por qué este problema puede resolverse como tú lo hiciste?
El uso de esta estrategia didáctica tiene como propósito propiciar que el alumno llegue a desarrollar el pensamiento reflexivo, la capacidad de argumentar la toma de decisiones, controlar el sentido de sus acciones y el desarrollo de habilidades metacognitivas.
Sin embargo, en su utilización habrá que cuidar que todos los alumnos tengan o lleguen a tener una participación en esta reflexión compartida, pues sólo de esa manera se podrá evitar el riesgo de que algunos estudiantes únicamente se acojan a las respuestas de los que usualmente solicitan participar.

UNA REFLEXIÓN FINAL

Resulta fundamental tener en cuenta las siguientes consideraciones:

a) • Cada una de las estrategias didácticas tiene su función en un momento dado, unas en el primer análisis del problema, otras en el proceso de solución o en el de evaluación de la respuesta; no se trata de que se conviertan en un apoyo permanente. Es fundamental que el docente intuya cuándo es conveniente que deje de usarlas con el mismo alumno o grupo de alumnos.

b) • El objetivo de mayor alcance al usar las estrategias didácticas mencionadas es que el alumno llegue a interiorizarlas como propias, convirtiéndolas en estrategias de aprendizaje que le posibiliten la resolución de problemas matemáticos.

c) • El uso de estas estrategias didácticas demanda del docente planificación cuidadosa, tiempo, esfuerzo y creatividad, trabajo con todo el grupo y acercamiento con los estudiantes uno a uno; pero los avances que percibirá, sin duda le llevarán a la certeza de que vale la pena ese esfuerzo.

Para saber más:
La enseñanza de la resolución de problemas matemáticos. El blanco y el negro de algunas estrategias didácticas. María Guadalupe Moreno Bayardo
http://educacion.jalisco.gob.mx/consulta/educar/15/15Moreno.html

Resolución de problemas
http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/prob_int.htm

Sistema de numeración

Un sistema de numeración es aquel formado por símbolos y reglas que permiten combinar esos símbolos. A lo largo de la historia, el hombre, ha empleado distintos sistemas de numeración, por ejemplo el Romano, el Egipcio, el Babilonio. etc.
El sistema de numeración que empleamos es el DECIMAL, pues está formado por 10 símbolos. (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y las reglas que los vinculan: cada unidad está formada por diez unidades del orden inferior, es decir 1 decena está formada por 10 unidades simples; 1 centena por 10 decenas; 1 unidad de mil por 10 centenas; etc.
La característica principal del Sistema de Numeración Decimal, es la de ser posicional, es decir cada cifra ocupa una lugar determinado.
Ejemplo: en el número 4.876, el 6 ocupa el lugar de las unidades simples, el 7 el de las decenas, el 8 el de las centenas y el 4 el de las unidades de mil. Si cambiamos el orden de las cifras cambia el valor del número. Así 6.487 será distinto que 4.876.
Esto no sucede de la misma forma en un sistema no posicional, por ejemplo el romano, el número XV representa al 15 y si permutamos los símbolos VX, no obtenemos ningún nuevo número. Estos sistemas son denominados ADITIVOS. El romano, CCCXXIV y el decimal, 324.
Podemos observar que, un sistema del tipo aditivo es sencillo de interpretar, sólo se necesitan sumar los valores de los símbolos utilizados. Pero requieren de gran cantidad de símbolos para representar números mayores.
El posicional, es más económico, con sólo diez símbolos podemos continuar la serie numérica indefinidamente, pero, es menos trasparente. El número 324 , está formado por 300+ 20+ 4.
¿Cuáles son los conocimientos previos que poseen los niños?
Sabemos que los niños tienen ideas previas, adquiridas por el intercambio con el medio natural y social.
Podemos enseñar a partir de ellas. No siempre hacemos uso de esas ideas.
Si queremos trabajar con los niños, por ejemplo, numeración, indagamos sobre los conocimientos que poseen y luego nos dedicamos a “enseñar” los cinco primeros números. ¿Para qué indagamos las ideas previas que poseen?. Si deseamos comenzar a trabajar el espacio geométrico y después de ver a los niños jugando con bloques, comenzamos mostrando figuras planas, ¿qué sentido tiene el haber observado el juego?. ¿O tal vez no se lo ha hecho?.
Es cierto que la enseñanza inicial de la matemática básica no ha sabido capitalizar demasiado a menudo la riqueza del conocimiento informal y esto ha hecho que se la enseñe desconectada de la realidad y en forma mecanicista y repetitiva.
Leamos una experiencia realizada con niños de 4 años Después de jugar, con la computadora, a uno de esos juegos que otorgan puntos por realizar correctamente determinadas tareas.
Se le pregunto a Andrés, ¿quién ganó.
Andrés: Luis, hizo más puntos.
Maestra:-¿Cómo lo sabes?..
Andrés:- Porqué el número de él era más largo.
En ese “más largo” estaba implícito, que era el número que tenía más cifras.
Debemos, entonces, ¿enseñar números de tres, cuatro o más cifras?. No, pero la respuesta nos da indicios de ir reconociendo ciertas características de los números.
Secuenciar la enseñanza
Debemos tener en cuenta.
Primero: buscar un situación problemática que necesite del contenido a tratar.
Por ejemplo:, veamos una actividad para nivel inicial Colocar 3 muñecos sobre una mesa alejada del armario y, luego de preguntarles ¿cuántos hay?. Pedir que vaya al armario y busquen tantos gorros como muñecos hay.
Podrán resolver la situación de distintas formas. Traer de uno en uno. Recordar la cantidad y traer todos juntos, etc..
Segundo: tener en cuenta los números que intervienen. Si el problema es resuelto. La próxima vez colocaremos 9 muñecos, aumentar la cantidad implica hacerla más compleja.
Si los niños traen de a uno los gorros y no memorizan la cantidad, poner la condición de hacerlo con el menor número de viajes.
Esto permite graduar las actividades e ir apropiándose de nuevas estrategias para solucionar los distintos problemas.
Tercero: llevar un registro de las distintas actividades y las respuestas de los niños, será de importancia para saber en que momento es necesario cambiar la dificultad de las actividades.
¿Qué hacen los niños al respecto, cómo se apropian del sistema de numeración?
En primer lugar reconocen que un número es mayor que otro porque tiene más cifras. Ejemplo: 456 es mayor que 34 pues el primero tiene 3 cifras y el segundo 2.
Poco a poco reconocen que si los números tienen igual cantidad de cifras es mayor el que comienza con la cifra mayor. Ejemplo: 45 y 28 ; 45 es mayor que 28 , pues 4 es mayor que 2.
Sus producciones escritas responden a lo que ¨escuchan¨, así 238 (doscientos treinta y ocho) será escrito: 200308
A pesar de su corta edad los niños son capaces de establecer relaciones, reflexionar sobre posibles respuestas a situaciones. Observar regularidades, propias de los contenidos matemáticos, que le permitirán generalizar conceptos.
No se debe caer en el error de suponer que los niños "conocen" el sistema de numeración, que reconocen cantidad al hablar de 29 o 12 , o que conocen los números porque los recitan correctamente
Pero, también, será un error no indagar sus conocimientos, no permitirles explorar en las creencias y no ponerlos en situaciones que exijan buscar soluciones.
Conociendo los números
Cardinalidad y ordinalidad: dos aspectos ligados al número.
Cardinalidad, hace referencia a la cantidad de elementos de un conjunto o colección.
Ordinalidad, hace referencia al lugar que ocupa el número dentro de una serie ordenada.
Contextos.
Recordemos que la Matemática es una ciencia en sí totalmente abstracta, de allí que sea necesario, para su estudio y sobre todo desde una edad temprana, que esté contextuada.
Contexto cardinal: es aquel en el que el número natural describe la cantidad de elementos de un conjunto de objetos discretos (aislados). Ejemplo: ¿Cuántos lápices hay sobre la mesa?.
Contexto ordinal, es aquel que describe la posición relativa de un elemento de un conjunto discreto y totalmente ordenado en el que se ha tomado uno de los elementos como inicial. Ejemplo: Señala el tercer libro de los que están ubicados en el estante.
Contextos de secuencias: los números se emplean sin estar asociados a un objeto u objetos en particular.
Ejemplo: ¨ Decir ¨ los números, al jugar a las Escondidas.
Contexto de código: Los números se usan como "etiquetas" que dan información. Se usan para distinguir clases de elementos. Ejemplo: los números que identifican a una línea de colectivos, a un número de teléfono, etc. Contexto de medida: Los números describen la cantidad de unidades de alguna magnitud continua, como longitud, capacidad, superficie, tiempo, etc. Ejemplo: 2 litros, 10 horas.
¿Cómo construyen la serie numérica los niños?
Baroody, indica que la determinación para saber si un conjunto, que tiene 8 elementos, es más que uno que tiene 7 elementos, implica una comparación entre magnitudes numéricas que requieren de cuatro técnicas.
1.La técnica más básica es generar sistemáticamente los nombres de los números.
2.Las palabras (etiquetas) de la secuencia numérica deben aplicarse una por una a cada objeto de un conjunto. Esta acción se denomina enumeración.
3.Se necesita una manera conveniente de representar los elementos que contiene cada conjunto.
La última etiqueta numérica expresada durante el proceso de enumeración representa el número total de elementos en el conjunto.
La secuencia oral
En un primer momento, aproximadamente a partir de los 2 años, los niños comienzan a ¨ contar ¨ o más bien realizan un recitado de números sin sentido. Éste puede ser del tipo 1,2,3,5, 8,10 ,20; en general aprendido de memoria.
En un segundo momento los niños, son capaces de recitar en forma ordenada y completa la serie numérica.
Ejemplo de actividades que el docente puede poner en práctica.
Salas de 4 y 5 años.
1.Decir los números a partir de un número dado.
2.Pedir a algún niño que diga un número, y a partir de ese continuar el recitado. . 3.Detenerse ante un número dado.
Esto hará, que el niño tenga que memorizar el número ante el cual debe detenerse y luego recomenzar la serie.
4. Recitar los números en ambos sentidos.
Jugar una carrera, cuando los niños están listos en la línea de partida, contar 3, 2, 1 y parten.
5. Detectar errores u omisiones en el recitado de otro compañero y de la docente. . Por ejemplo: ante el recitado 1,2,3,5. La docente preguntará, ¿qué número falta, cuál es el anterior a ese y el que le sigue?.
Funciones de los números que los alumnos de nivel inicial pueden reconocer
El número como memoria de la cantidad.
Poder recordar una cantidad determinada sin que ésta esté presente.
Ejemplo de actividades:
Los niños están sentados en grupos de 5 (cinco) niños. Un compañero deberá repartir las hojas de trabajo. Podrá hacerlo llevando las hojas una a una. (Método propio de los niños más pequeños, para asegurarse de dar una a cada niño). Le pedimos que lo haga empleando el menor número de viajes. (Podrá llevar un montón). Se le pedirá que no tenga la necesidad de volver a guardar las que sobraron. De esta forma comprenderá la ventaja de recordar la cantidad.
Registro de la información
Registrar la información de alguna forma para no olvidarla o poder comunicarla a otro.
Ejemplo de actividades:
Permitir a los niños buscar la forma de registrar la información de los puntos obtenidos en algún juego. Conversar con ellos sobre distintas formas de hacerlo. Será importante que los niños observen que hay una forma de registrar la información.
Para representar al número cinco, podemos colocar cinco palitos, cinco redondeles o bien el numeral 5. Registrar la información de las distintas posiciones obtenidas en algún juego. Empleando tablas.
El número como memoria de la posición.
Los niños deberán comprender la utilidad de recordar una posición y no la lista completa. Ejemplo de actividades: ¿Quien llegó primero a la meta?. (En algún juego.) Colocar los útiles en la tercera caja, etc.
Enfoques en la enseñanza del número.
1) Se puede considerar al niño como sin conocimientos sobre el número. Esto hace que se comience a enseñar por el número 1, luego el 2, el 3 y así continuar.
De ser así, se estaría negando que un niño pueda conocer su edad, saber que tienen 2 hermanos o que, frente al ofrecimiento de caramelos, no sepa si escoger 1 o 3. No saber que si tiene 4 fichas y agrega 2 tiene 6 y muchos otros conocimientos que los alumnos de 4, 5 6 años si poseen.
2) El enfoque de la Matemática Moderna y el aplicacionismo de las teorías piagetianas hizo que los docentes indicaran que los alumnos debían, clasificar, seriar y establecer correspondencias término a término, como base a la adquisición del número.
3) La didáctica de la matemática, de la escuela francesa, recoge las ideas piagetianas según la cual los conocimientos no se producen solo por la experiencia que los sujetos tengan sobre los objetos, ni tampoco por una programación innata preexistente en él , sino por construcciones sucesivas que se dan en interacción con el medio. Pero esto es insuficiente sino se tiene en cuenta las condiciones en las cuales los alumnos movilizan los saberes bajo la forma de herramientas que permitan la construcción de nuevos conocimientos.
Lo que se pretende al hacer Matemática es que el alumno sea el constructor, se sienta partícipe de su aprendizaje. El docente debe evitar dar indicios en la resolución de las actividades propuestas, pues, puede suceder que respuestas correctas de los alumnos provengan de casualidades, adivinaciones y no de haber puesto en juego sus conocimientos. Esto traeré en el futuro decepciones, al fracasar en planteos que evidencias la ausencia del saber que se pensó estaba adquirido. .

“el alumno debe ser capaz no solo de repetir o rehacer, sino también de resignificar en situaciones nuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas.” (Charnay 1994)
Para ampliar estos conceptos se sugiere la lectura del Capítulo 5 El sistema de numeración: un problema didáctico: Lerner, D y Sadowsky, P. En el libro Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones- Parra, C- Saiz, I. (Compiladoras) -. Paidos - 19953 .